質問と回答 (採点対象)

質問 1. (採点結果: 40点)

○ 質問1
ブラウン運動のmdV/dt = F の項にははやい運動とおそい運動が含まれていて、 それをおそい項 P とはやい項 Q を使ってわけました。 その後板書で exp[ilt']Pは P があるので V に比例、よっておそい変化とあり、
t = 0 ---> t = t' の変化は遅いとありました。 しかし exp[iLt'] 自体には P が入っていないため
t = 0 ---> t = t' の変化が遅いとは言い切れないと思うのですがどうでしょうか。 はやい項は exp[QiL(t-t')] となっていたので納得がいきました。

これは、授業の準備をしているときに、質問されるかなとある程度予想していた質問です。 予想していたら授業中に分るように説明すれば良いのですが、 そこは能力の無い悲しさ、時間内には出来ませんでした。

まず、ここでは V(t) の時間変化は遅いというのが大前提の仮定です。 これが出発点になりますので、その事をまずしっかり理解して下さい。 V(t) を時間推進演算子で書くと、exp[iLt]V(0) となりますが、 これは、PiLt が含まれていません。 それでも、 仮定からその時間変化は遅い というわけです。 つまり、iL = PiL + QiL として、QiLは速い時間変化としましたが、 必ずしも、PiLで変化するものだけが速いというわけではなく、全体の iL で時間変化するのに、 ゆっくりのものもあるのです。 問題になっているのは、exp[ilt']P で、これは、exp[iLt']V(0) に比例するので、 やはり遅い時間変化と考えられます。

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○ 質問2
授業ノート 14の(7)式の証明の板書で、それにしたがって行うと 分母は <V>²になると感じたのですが、 これは、<V²>と同値ですか? <>の定義が内積という事と平均という事は違うのですか? つまり、 <>は中がベクトルか物理量かによって内積になったり平均になったりするんですか。

これも、誤解するかなと思ったのですが、やはり質問が来ましたね。 授業中にきちんと説明出来なくてすみませんでした。 ここで内積は、いつでも平均で定義しています。 もちろん、<V>²と<V²>は、 まったく別のものです。 AとBの内積(AB)はABの平均<AB>で定義します。 今、問題になっているのは、|V|²で V が位相空間の関数のとき、 これをどう考えるかですね。 さっきは、内積を定義しただけで、絶対値については何も言っていませんでした。 ただし、絶対値は普通、内積で定義するので、|V|² = (VV) と考えます。 だから、|V|² は、<V²>であって、 <V²>ではないのです。

採点ですが、この日は、全部で 5 つ目標があったので、1 つの目標あたり 20点になります。 1つの目の質問は、4つ目の目標と関係していて、半分の 10 点、 2つ目の質問は、3つの目標が理解できているのが分ったので、20 点と採点しました。 全部で30点です。

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