\documentclass[12pt]{jsarticle}

\usepackage{amsmath}
\usepackage{bm}

\bmdefine{\bfl}{l}

%\usepackage{/Users/yoshimoriakira/Documents/macro2}
\usepackage{/Users/yoshimoriakira/Documents/tex/macro2}
%\usepackage{../macro2}
\newcommand{\capsoeji}[1]{_{\mbox{\tiny$#1$}}}
\newcommand{\epsf}{\eps\capsoeji{F}}

\bmdefine{\bfl}{l}


\begin{document}

 ���ׂĂ̖��ŁA$\hbar$�̓v�����N�萔��$2\pi$�Ŋ���������
    (�𓚂ɂ̓v�����N�萔�ł͂Ȃ�$\hbar$���g���Ȃ���)�A
    $\kB$�́A�{���c�}���萔��\���A$T$�͉��x�A$\beta\equiv 1/(\kB T)$�Ƃ���B
 �܂��A$V$�͑̐ρA$N$�͗��q���ŁA$V$��$N$���[���傫���A$1/V$��$1/N$�͖�������B
 $N/V$�͖������Ȃ��B
 1���q�̏�Ԃ͖��ɋl�܂��Ă���B
 ���ɒf�肪�Ȃ���Ε��t��Ԃ��l����B


\bigskip


\begin{enumerate}
\item 1�ӂ�$L$��3�������̗����̂ɕ����߂�ꂽ���z�t�F���~�C�̂��l����B
 1���q�̃G�l���M�[�ŗL�l��
\begin{equation}
	\eps_{\bfl} = A|\bfk({\bfl})|^a
			+\eps_0	\label{bunsan}
\end    {equation}
  �ƂȂ邱�Ƃ��������Ă���B
 �������A$A$��$a$��$\eps_0$��$\bfl$�ɂ��Ȃ��萔�ŁA$A>0$�A$0<a<3$�B
 �g���x�N�g��$\bfk({\bfl})$�́A
\begin{equation}
	\bfk({\bfl}) = \frac{2\pi}
			{L}\bfl,
	\qquad
	\bfl = (l_x,l_y,l_z),
	\qquad
	l_x,l_y,l_z=0,\pm 1, \pm 2,\dotsb
\end   {equation}
   �ŁA�^������B
  �������R�x�͖�������B 
\begin{enumerate}
\item ���̌n�̏�Ԗ��x$D(\eps)$��
\begin{equation}
	D(\eps) = VD_0(\eps-\eps_0)^{n},
	\qquad \eps\ge\eps_0	\label{Deps}
\end   {equation}
  �ƕ\����Ƃ��A$D_0$��$n$�����߂Ȃ����B
 �܂��A$\eps<\eps_0$�̂Ƃ��A$D(\eps)$�͂ǂ��Ȃ邩�B
% �������A$\eps$�͏[���傫���Ƃ���B
\item $P$�����́A$E$���G�l���M�[�Ƃ������A$PV=\al(E-N\eps_0)$�����藧�B
 $T\ne 0$��$\al$��$n$�ŕ\���Ȃ����B
 �������A
\begin{gather}
	PV = \kB T\sum_l\ln(1+e^{-\beta(\eps_l-\mu)})	\\
	f(\eps)=\frac{1}
		{e^{\beta(\eps-\mu)}+1}		\\
	\lim_{x\to\infty}x^y\ln(1+ze^{-x}) = 0,
	\qquad(\text{$y$�A$z$��$x$�ɂ��Ȃ�����})	\\
	E = \int^{\infty}_{-\infty}\eps D(\eps)f(\eps)d\eps	\\
	N\eps_0 = \int^{\infty}_{-\infty}\eps_0 D(\eps)f(\eps)d\eps
\end  {gather}
  ���g���Ă��ǂ��B
%���A$\eps_l$�̋L���͍ŏI�I�ȓ����Ɏg���Ă͂����Ȃ��B
\end{enumerate}
						\label{Fermi}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\item ��Ԗ��x$D(\eps)$�����\ref{Fermi}�Ɠ���\siki{Deps}��
  �^�����Ă��闝�z�{�[�X�C�̂��l����B
% �ȉ��̖₢�ɁA$a$��$A$���g�킸�ɁA$D_0$��$n$�Ȃǂ��g���ē����Ȃ����B
 $T=T_{B}$�̂Ƃ�$N$��$(T_{B})^m$�ɔ�Ⴗ��B
 $m$��$n$�ŕ\���B
 �������A$T_B$�̓{�[�X-�A�C���V���^�C���Ïk(BEC)���N���鉷�x��\���A
\begin{gather}
	b(\eps)=\frac{1}
		{e^{\beta(\eps-\mu)}-1}
\end  {gather}
  ���g���Ă��ǂ��B
%5:28-6:33

  �q���g:
%   $x=\beta(\eps-\eps_0)$�ƕϐ��ϊ�������B�܂��A
 ���̏ꍇ�̃{�[�X-�A�C���V���^�C���Ïk�́A
   \underline{\textbf{$\mu=0$�łȂ��A$\mu=\eps_0$}}�ŋN����B
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\item �����̗̂e��ɕ����߂��Ă�����q�Ɋւ���
  �V���e�t�@��-�{���c�}����($u=\sigma T^4$)�ɂ��āA
  $\sigma$�̋�̓I�Ȍ`�����߂Ȃ����B
 �����ŁA$u$�͒P�ʑ̐ς�����̑S�G�l���M�[�ŁA$\sigma$�͉��x�ɂ��Ȃ�����萔��\���B
 $\sigma$�̋�̓I�Ȍ`�ɂ͌���$c$���g���B
 �K�v�Ȃ玟�̌������g���ėǂ��B
\begin{gather}
	\omega = c|\bfk({\bfl})|	\\
	\bfk({\bfl}) = \frac{2\pi}
			{L}\bfl,
	\qquad
	L^3=V
	\qquad
	\bfl = (l_x,l_y,l_z),
	\qquad
	l_x,l_y,l_z=0,\pm 1, \pm 2,\dotsb	\\
	\int^\infty_0\frac{x^3}
			{e^x-1}dx = \frac{\pi^4}
					{15}
\end    {gather}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\item ���f���q�̗��z�C�̂�ʎq�_�I�ɍl����B
  ���f���q�́A�X�s��1/2�̃t�F���~���q�ŁA
   �������[�����g$I$�����������̉�]�q�Ƃ���B
 ���q1�̉�]�^���̃G�l���M�[���ʂ́A���ʗʎq��$\ell$���g���āA
\begin{equation}
	\epsilon_\ell = \frac{\hbar^2}
			{2I}\ell(\ell+1)
	 \qquad (\ell=0,1,2,\dotsc)
\end{equation}
  �ŗ^������B
 ��]�^���̌ŗL��Ԃ��w�肷��ʎq���́A$\ell$�̑���$m$������A$-\ell\le m\le \ell$�B
 $\Theta=\hbar^2/(2I\kB)$�Ƃ���ƁA$T<<\Theta$��
  �ቷ�̋Ɍ���$\ell>2$�𖳎�����Ƃ��A���̖₢�ɓ�����B
\begin{enumerate}
\item 1���q�̕��z�֐��ɑ΂����]�ƃX�s���̊�^$j$�����߂Ȃ����B
%�ɂ��āA
%  ��Βl���ł��傫�����̂���3�����ƁA
%\begin{equation}
%	j = A\exp[-B\frac{\Theta}
%			{T}] +C\exp[-D\frac{\Theta}
%					{T}] +E\exp[-F\frac{\Theta}
%					{T}]\dotsb	\label{bunpai}
%\end    {equation}
%  �ƂȂ�B
% ����$A$�A$B$�A$C$�A$D$�A$E$�A$F$�����߂�B
 �������A
  �X�s���̌ŗL�֐��ɂ���
  ���q����ꂩ�������ɕ������ς��Ȃ����̂���v�Z�������z�֐���$z_S$�A
  �ς����̂���v�Z�������z�֐���$z_A$�Ƃ���ƁA
  ���f���q��$z_S=3$�A$z_A=1$�ƌv�Z�ł���B
\item
% \siki{bunpai}��$E$�ɔ�Ⴗ�鍀�𖳎�����
 1���q�̃w�����z���c�̎��R�G�l���M�[�ɑ΂����]�ƃX�s���̊�^$f$
%�����߂Ȃ����B
  �ɂ��āA��Βl���ł��傫�����̂���2�����ƁA
\begin{equation}
	f = A\kB T\exp[-B\frac{\Theta}
			{T}] +C\kB T\exp[-D\frac{\Theta}
					{T}]\dotsb
\end    {equation}
  �ƂȂ�B
 ����$D$�����߂�B
 ����$A$�A$B$�A$C$�͋��߂Ȃ��Ă��ǂ��B
 �K�v�Ȃ�A���̌������g���Ă��ǂ����A$x$�𓚂��ɏ����Ă͂����Ȃ��B
\begin{gather}
	|x|<<1�ŁA\qquad \ln (1+x) \simeq x
 			-\frac{x^2}
				{2}
	\\
	f = -\kB T\ln j
%	E = -\round{\beta}\ln j
\end{gather}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\bigskip

\item ���̃n�~���g�j�A��
\begin{equation}
	H = -\sum_{(i,j)}J\sigma_i\sigma_j
\end  {equation}
  �ŕ\�����i�q�̏�ɕ��񂾃X�s���n������B
  $J$��$\sigma_i$�ɂ��Ȃ����̒萔��\���B
 �a$\sum_{(i,j)}$�́A�ׂ荇���i�q�̑g�ɂ��ĂƂ�B
 �e�i�q�_�ɂ���X�s���́A$\sigma_i=-1,1$��2�̏�Ԃ��Ƃ���̂Ƃ��āA
  �J�m�j�J�����z�ɑ΂��镽�Ϗ�ߎ����g���āA���]�ڂ��N���鉷�x$T_c$��
    ���̗l�ɋ��߂Ȃ����B
 �������A�ׂ荇���i�q�̐���$z$�Ƃ���B
\begin{enumerate}
\item �܂��A1�̗��q�ɒ��ڂ��A���̗��q�̕ϐ���$\sigma_1$�Ƃ���B
 $H$�ɂ��鑼�̗��q�̕ϐ�$\sigma_i$ ($i\ne 1$)
  �𕽋ϒl$\braket{\sigma}$�ɒu���������n�~���g�j�A���̂����A
   $\sigma_1$�Ɗ֌W���镔����$H_A$�Ƃ���B
 $H_A$�����߂Ȃ����B
\item $H_A$���g���āA
  1�Ԗڂ̗��q�̃X�s����$\sigma_1$�̏�Ԃɂ���m��$P_1(\sigma_1)$�����߂�B
\item $\braket{\sigma}$�Ɋւ����������$\braket{\sigma}=f(\braket{\sigma})$��
  �`�ŋ��߂Ȃ����B
 �����ŁA$f(\braket{\sigma})$�͂���$\braket{\sigma}$�̊֐���\���B
\item $\braket{\sigma}=f(\braket{\sigma})$�̉��̌��́A
  $f(\braket{\sigma})$�̔�����$\braket{\sigma}=0$��1�ɂȂ鉷�x�ŕς��B
 ���̂��Ƃ��g���āA$T_c$�����߂Ȃ����B
\end{enumerate}
\end {enumerate}
\label{endpage}
\end{document}
