\documentclass[12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{/Users/yoshimoriakira/Documents/tex/macro2}
%\usepackage{/Users/yoshimori/Documents/tex/macro2}
%\usepackage{../macro2}

\begin{document}
\large
\begin{center}
	2015�N�x ���v�͊wII �h��1 (4��16���o��A23����o)
	��
\end  {center}
\begin{flushright}
	�S��: �g�X ��
\end  {flushright}
 [���1.]���q����$N$�A���ʂ�$m$�A
  $i$�Ԗڂ̗��q�̉^���ʂ�$\bfp_i$�Ƃ��āA���n�~���g�j�A��$H$��
\begin{equation}
	H =\sum^N_i\frac{|\bfp_i|^2}
			{2m}		\label{risouh}
\end   {equation}
 �Ə����Ă���ÓT�n�ɂ���
\begin{enumerate}
\item[(a)] ���x$T$�A�̐�$V$�A$N$���^�����Ă��鎞�A�J�m�j�J�����z���番�z�֐�
\item[(b)] ���x$T$�A�̐�$V$�A���w�|�e���V����$\mu$���^�����Ă��鎞�A
   �O�����h�J�m�j�J�����z����啪�z�֐�
\end{enumerate}
�����߂Ȃ����B

\bigskip

\noindent[��] \textbf{(a) �J�m�j�J�����z}

���z�֐�$Z=Z(T,V,N)$�̌����ɖ���$H$��������ƁA
\begin{align}
	Z &= \frac{1}
		{N!}\frac{1}
			{h^{3N}}\int\dots\int dx_1\dots dp_{Nz}
		\exp[-\beta\sum^N_i\frac{1}
			{2m}|\bfp_i|^2]			\\
	&= \frac{1}
		{N!}\frac{1}
			{h^{3N}}\prod_i\int\dots\int dx_i\dots dp_{iz}
		\exp[-\beta\frac{1}
			{2m}|\bfp_i|^2]			\\
	&= \frac{1}
		{N!}\left(\frac{1}
			{h^{3}}\int\dots\int dx\dots dp_{z}
		\exp[-\beta\frac{1}
			{2m}(p_{x}^2+p_{y}^2+p_{z}^2)]\right)^N		\\
	&= \frac{1}
		{N!}Z_1^N			\label{tatoalZ}
\end  {align}
�����ŁA$Z_1$�́A1���q�̕��z�֐��ŁA
\begin{align}
	Z_1	&= \frac{1}
			{h^{3}}\int\dots\int dx\dots dp_{z}
		\exp[-\beta\frac{1}
			{2m}(p_{x}^2+p_{y}^2+p_{z}^2)]	\\
\intertext{���W�Ɋւ���ϕ��͑̐ς�^����̂ŁA}
		&= \frac{1}
			{h^{3}}V\int\dots\int dp_xdp_ydp_{z}
		\exp[-\beta\frac{1}
			{2m}(p_{x}^2+p_{y}^2+p_{z}^2)]	\\
		&= \frac{1}
			{h^{3}}V\left(\int dp
			\exp[-\beta\frac{1}
					{2m}p^2]\right)^3 \\
\intertext{�^���ʂ̐ϕ��́A�K�E�X�ϕ��̌������g���ƁA}
		&= \frac{1}
			{h^{3}}V\left(\sqrt{\frac{2\pi m}
					{\beta}}\right)^3
	= \frac{V(2\pi m\kB T)^{3/2}}
			{h^3}		\label{zichi}
\end  {align}
 \eqref{tatoalZ}���ɑ������ƁA
\begin{equation}
	Z = \frac{1}
		{N!}\left\{\frac{V(2\pi m\kB T)^{3/2}}
			{h^3}\right\}^N			\label{bunpai}
\end  {equation}

\bigskip

\noindent\textbf{(b) �O�����h�J�m�j�J�����z}

\eqref{tatoalZ}�����O�����h�J�m�j�J�����z�̌����ɑ������ƁA�啪�z�֐�$\Xi=\Xi(T,V,\mu)$�́A
\begin{align}
	\Xi 	&= \sum_Nz^NZ(T,V,N)		\\
		&= \sum_Nz^N\frac{1}
				{N!}Z_1^N	\\
		&= \sum_N\frac{1}
				{N!}(zZ_1)^N	\\
\intertext{�w���֐��̓W�J����$e^x=\sum_nx^n/n!$���g���ƁA}
		&= \exp[zZ_1]			\label{daixi}
\end  {align}

\bigskip

\noindent[���2.] \siki{risouh}�̃n�~���g�j�A���ŃJ�m�j�J�����z�̕��z�֐�����
  �w�����z���c�̎��R�G�l���M�[�𓱂��Ȃ����B
 �܂��A�O�����h�J�m�j�J�����z�̑啪�z�֐�$\Xi$����$J=-\kB T\ln\Xi$���v�Z���A
  ���ꂩ��w�����z���c�̎��R�G�l���M�[�𓱂����Ƃɂ�藼�҂��r���Ȃ����B
 ����$N$���傫������v���鎖�������B

\bigskip

\noindent[��] �J�m�j�J�����z�̕��z�֐�����w�����z���c�̎��R�G�l���M�[$F$��
  �v�Z����ɂ́A
\begin{equation}
	F = -\kB T\ln Z
\end{equation}
  \siki{bunpai}��������ƁA
\begin{align}
	F	&= -\kB T\ln\frac{1}
		{N!}\left\{\frac{V(2\pi m\kB T)^{3/2}}
			{h^3}\right\}^N			\\
\intertext{$Z_1$���g����}
		&=-\kB T\ln\frac{1}
		{N!}Z_1^N				\\
		&= \kB T\ln N!
			-\kB TN\ln Z_1			\label{seijunF}
\end   {align}

 ����A�O�����h�J�m�j�J�����z�̑啪�z�֐�����́A
\begin{equation}
	N = \left(\frac{\pd \kB T\ln\Xi}
		{\pd\mu}\right)_{T,V}
\end{equation}
  �Ȃ̂ŁA\siki{daixi}����
\begin{align}
	N &= \left(\frac{\pd \kB TzZ_1}
		{\pd\mu}\right)_{T,V}		\\
\intertext{$z=e^{\beta\mu}����$�A}
	&= \left(\frac{\pd \kB Te^{\beta\mu}Z_1}
		{\pd\mu}\right)_{T,V}		\label{Pmu} \\
	&= e^{\beta\mu}Z_1
\end{align}
 $\mu$�ɂ��ĉ�����
\begin{equation}
	\mu = \kB T\ln\frac{N}
			{Z_1}	\label{Ntomu}
\end{equation}
 $z$�ɂȂ����ƁA
\begin{equation}
	z=e^{\beta\mu} = \frac{N}
				{Z_1}	\label{Ntoz}
\end{equation}

$J=-\kB T\ln\Xi$��\siki{daixi}��������ƁA
\begin{align}
	J 	&= -\kB T\ln\exp[zZ_1]	\\
		&= -\kB TzZ_1
\end  {align}
 $F=J+\mu N$������A
\begin{align}
	F 	&= -\kB TzZ_1 +\mu N	\\
\intertext{$z$��$\mu$��\siki{Ntoz}��\siki{Ntomu}���������}
		&= -\kB T\frac{N}
				{Z_1}Z_1 +\kB TN\ln\frac{N}
						{Z_1}	\\
		&= -\kB TN +\kB TN\ln N -\kB TN\ln Z_1
\end  {align}
 ����́A$N$���傫�����A
  �X�^�[�����O�̌������g���ƁA\siki{seijunF}�ƈ�v���邱�Ƃ��킩��B
\end  {document}