\documentclass[12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath}
\usepackage[dvipdfm]{graphicx,color}

%\usepackage{../../macro2}
\usepackage{/Users/yoshimoriakira/Documents/tex/macro2}
%\usepackage{/Users/yoshimori/Documents/tex/macro2}

\newcommand{\www}%{\large}
{\normalsize}
\newcommand{\shiki}[1]{\eqref{#1}��}

\begin{document}
\www
\begin{center}
	2015�N�x���v�͊wII �h��14 (7��23���o��)
	��
\end  {center}
\begin{flushright}
	�S�� �g�X ��
\end  {flushright}
 [���1.] (a) $\sigma_{i}=-1,0,1$�̂R�̏�Ԃ��Ƃ�X�s���n��$H=-
\sum_{(i,j)}J\sigma_{i}\sigma_{j}(J>0)$�̑��]�ډ��x$T_c$�𕽋Ϗ�ߎ��ŋ���
��B
�ƂȂ肠�����q�̐���$z$�Ƃ���B

(b) ���Ƃŗ^���������_�E���R�G�l���M�[�Ŕ�M�̂Ƃт����߂Ȃ����B

(c) (�����_�E)���R�G�l���M�[�Ƃ��āA
  $F(M,T)=A_0(T)+A_2(T)M^2+bM^4/4$���l����B
 $A_2(T)=e^{aT}-c$�̎��̑��]�ڂ��N����]�ډ��x$T_c$�����߂Ȃ����B


\bigskip

\noindent[��]
(a) ���ƂɂȂ����3�̎菇�ŉ����B	

\bigskip


\noindent[�菇1] �܂��A���̃n�~���g�j�A���ŁA
  $\sigma_1$�ȊO�̃X�s����$\braket{\sigma}$�ɒu��������B
 �u���������n�~���g�j�A����$H_A$�Ƃ���ƁA
\begin{equation}
	H_A = -zJ\braket{\sigma}\sigma_1 +C
					\label{HA}
\end{equation}
 $C$�́A$\sigma_1$�ɂ��Ȃ��萔��\���B

\bigskip

\noindent[�菇2]���ɁA����$H_A$���g����$\braket{\sigma_1}$���v�Z����B
 �J�m�j�J�����z���g���āA
\begin{align}
	\braket{\sigma_1} &= \frac{\sum_{\sigma_1=-1,0,1}
				\sigma_1e^{\beta zJ\braket{\sigma}\sigma_1}}
		{\sum_{\sigma_1=-1,0,1}e^{\beta zJ\braket{\sigma}\sigma_1}}	\\
	&= \frac{e^{\beta zJ\braket{\sigma}}
		-e^{-\beta zJ\braket{\sigma}}}
	{e^{\beta zJ\braket{\sigma}}+1
		+e^{-\beta zJ\braket{\sigma}}}
\end{align}

\bigskip

\noindent[�菇3] $\braket{\sigma_1}=\braket{\sigma}$�Ƃ���ƁA
\begin{equation}
	\braket{\sigma} = \frac{e^{\beta zJ\braket{\sigma}}
            	-e^{-\beta zJ\braket{\sigma}}}
		{e^{\beta zJ\braket{\sigma}}+1+e^{-\beta zJ\braket{\sigma}}}
				\label{heikinba}
\end{equation}
 ���̔���^�������̉�����������$\braket{\sigma}$�ƂȂ�B

\eqref{heikinba}���̉��̌������x��ς��Ē��ׂ�B
\begin{equation}
	f(M) = \frac{e^{\beta zJM}	-e^{-\beta zJM}}
		{e^{\beta zJM}+1+e^{-\beta zJM}} -M
\end{equation}
  �Ƃ����ƁA$f(M)=0$�𖞂���$M$��$\braket{\sigma}$�ɂȂ�B

$f'(0)\le 0$�̎��A����$M=0$�����Ȃ��A
  $f'(0)>0$�̎��A$M\ne 0$�̉�������(��Ő���)�B
 ���������āA
\begin{align}
	f'(M)	&= \frac{\beta zJe^{\beta zJM}
			+\beta zJe^{-\beta zJM}}
		{(e^{\beta zJM}+1+e^{-\beta zJM})}		\notag \\
	&{}
	-\frac{(e^{\beta zJM}	-e^{-\beta zJM})
		(\beta zJe^{\beta zJM}-\beta zJe^{-\beta zJM})}
		{(e^{\beta zJM}+1+e^{-\beta zJM})^2}
	 -1				\label{fbibun}
\end{align}
  ������A
\begin{equation}
	f'(0)	= \frac{\beta zJ+\beta zJ}
		{(1+1+1)} -1
	= \frac{2\beta zJ}
		{3} -1
\end  {equation}
 �]�ډ��x$T_c$�́A
\begin{equation}
	\frac{2zJ}
		{3\kB T_c} =1
\end  {equation}
  �Ȃ̂ŁA
\begin{equation}
	 T_c = \frac{2zJ}
		{3\kB}
\end  {equation}

\bigskip

\noindent\textbf{��$f'(0)\le 0$�̎��A����$M=0$�����Ȃ��A
  $f'(0)>0$�̎��A$M\ne 0$�̉������邱�ƁB}
  
 (\ref{fbibun})����ʕ�����ƁA
\begin{align}
	f'(M)	&= \frac{\beta zJ}
		{(e^{\beta zJM}+1+e^{-\beta zJM})^2}	
		\{(e^{\beta zJM}+e^{-\beta zJM})
		(e^{\beta zJM}+1+e^{-\beta zJM})
					 \nonumber \\
	&{}
	-(e^{\beta zJM}	-e^{-\beta zJM})
		(e^{\beta zJM}-e^{-\beta zJM})	\} -1	\\
	&= \frac{\beta zJ}
		{(e^{\beta zJM}+1+e^{-\beta zJM})^2}
			 \nonumber \\
	&{}\times
	\{(e^{\beta zJM}+e^{-\beta zJM})^2
		+(e^{\beta zJM}+e^{-\beta zJM})
					 \nonumber \\
	&{}
	-(e^{\beta zJM}	-e^{-\beta zJM})^2	\}
		-1					\\
	&= \frac{\beta zJ}
		{(e^{\beta zJM}+1+e^{-\beta zJM})^2}
	\{2 +(e^{\beta zJM}+e^{-\beta zJM})
		+2	\}		-1	\\
	&= \frac{\beta zJ(4+e^{\beta zJM}+e^{-\beta zJM})}
		{(e^{\beta zJM}+1+e^{-\beta zJM})^2} -1 \\
	&= \frac{1}
		{(e^{\beta zJM}+1+e^{-\beta zJM})^2}
	 \{\beta zJ(4+e^{\beta zJM}+e^{-\beta zJM})
		 \notag \\
	&{}	-(e^{\beta zJM}+1+e^{-\beta zJM})^2\}
\end{align}
%\end{kaipagekinsi}
  $g(M) = f'(M)(e^{\beta zJM}+1+e^{-\beta zJM})^2$�Ƃ���ƁA
\begin{eqnarray}
	g(M) &=& \beta zJ(4+e^{\beta zJM}+e^{-\beta zJM})
					\nonumber \\
	&&{}	-(e^{\beta zJM}+1+e^{-\beta zJM})^2
\end{eqnarray}
 $X=e^{\beta zJM}+e^{-\beta zJM}$�Ƃ���ƁA
\begin{eqnarray}
	g(M)	&=& \beta zJ(4+X) -(1+X)^2	\label{gM}\\
	&=& -X^2 +(\beta zJ-2)X +4\beta zJ -1
\end{eqnarray}
 ����́A$X$�ɂ��ď�ɓʂ̕�������\���B
 $M=0$�ŁA$X=2$������A(\ref{gM})������A
  $g(0)=6\beta zJ -9$

\bigskip

\noindent(1) $g(0)=6\beta zJ -9\le 0(\beta zJ\le 3/2)$�̎�     \\
\begin{equation}
	\frac{\pd g}
	   {\pd X}
	= -2X +(\beta zJ-2)
\end{equation}
 $\beta zJ\le 3/2$������A$\beta zJ-2<0$�ƂȂ�A$X>2$�ŁA
\begin{equation}
	\frac{\pd g}
	   {\pd X} < 0
\end{equation}
 $g(0)<0$������A$g(M)<0$�ƂȂ邱�Ƃ��킩��B
 ���������āA�����\��
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
	$M$	& 0	&	& $\infty$	\\ \hline
	$g(M)$	& $-$	& $-$	& $-\infty$	\\
	$f'(M)$	&  $-$	& $-$	& $-\infty$	\\
	$f(M)$	& 0	& ����	& $-\infty$	\\ \hline
\end   {tabular}
\end   {center}
 �܂�A$M>0$�ŁA$f(M)<0$�ƂȂ�A$f(M)=0$�ƂȂ�̂́A$M=0$��1�����Ȃ��B

�@\bigskip

\noindent(2) $g(0)=6\beta zJ -9>0(\beta zJ>3/2)$�̎�	\\
 $M\to\infty$��$g(M)\to -\infty$������A
   $M>0$�A�܂�A$X>2$�ŁA$g(M)=0$�ƂȂ����1�͂���B
 ������A$M_0$�Ƃ���ƁA�����\�́A
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
	$M$	& 0	&	&�@$M_0$	&	& $\infty$
						\\ \hline
	$g(M)$	& $+$	& $+$	& 0	& $-$	& $-\infty$\\
	$f'(M)$	& $+$	& $+$	& 0	& $-$	& $-\infty$\\
	$f(M)$	& 0	& ����	& 	& ����	& $-\infty$ \\
 \hline
\end   {tabular}
\end   {center}
 �܂�A���Ȃ��Ƃ�$M<M_0$�ŁA$f(M)>0$�Ȃ̂ŁA$M=0$�ȊO��$f(M)=0$��
   ������$M$������B



\bigskip




(b) �����_�E���R�G�l���M�[�͎��̂悤�ɗ^������̂ŁA
\begin{equation}
	F(M,T)=F_{0}(T)+\frac{a}
			{2}(T-T_c)M^{2}+\frac{b}
					{4}M^{4}
\end{equation}
 �h��13����A$T>T_c$�ōŏ���$M$�́A0�A���̎���$F(M,T)$�́A$F_0(T)$�A
  $T<T_c$�ōŏ���$M$�́A
\begin{equation}
	M_0 = \sqrt{\frac{a(T_c-T)}
			{b}}
\end{equation}
  ��$-M_0$�ŗ^�����A���̎���$F(M,T)$�́A
\begin{equation}
	F(M_0,T) = F_0(T) -\frac{a^2}
				{4b}(T-T_c)^2 
\end{equation}
  �ƂȂ�B

 �����_�E���R�G�l���M�[�̉��肩��A�ŏ���$M$�ł�$F(M,T)$�̒l�́A
  ����(�M�͊w)�̃w�����z���c�̎��R�G�l���M�[$F(T)$�ƈ�v����̂ŁA
\begin{align}
	T\ge T_c \qquad	F(T)	&= F_0(T)	\\
	T < T_c \qquad	F(T)	&= F_0(T) -\frac{a^2}
				{4b}(T-T_c)^2
\end{align}
 �G���g���s�[$S$�̌���(����P79(3.35)�A��KP16(66)��)
\begin{equation}
	S = -\frac{\pd F(T)}
			{\pd T}
\end{equation}
  ����A
\begin{align}
	T\ge T_c \qquad	S	&= -\frac{dF_0(T)}
						{dT}	\\
	T < T_c \qquad	S	&= -\frac{dF_0(T)}
						{dT}
				 +\frac{a^2}
				{2b}(T-T_c)
\end{align}
 ����ɁA��M$C$�̌���(����P57(2.86))
\begin{equation}
	C = T\frac{\pd S}
			{\pd T}
\end{equation}
  ����
\begin{align}
	T\ge T_c \qquad	C	&= -T\frac{d^2F_0(T)}
						{dT^2}	\\
	T < T_c \qquad	C	&= -T\frac{d^2F_0(T)}
						{dT^2}
				 +T\frac{a^2}
				{2b}
\end{align}
 �܂�A$T=T_c$�Ŕ�M�́A
\begin{equation}
	T_c\frac{a^2}
				{2b}
\end  {equation}
  �����̂Ƃт�����B

\bigskip

\noindent (c) ���]�ڂ��N����̂�$A_2(T)=0$�̉��x������A
\begin{equation}
	A_2(T_c)=0
\end{equation}
 �^����������ƁA
\begin{equation}
	e^{aT_c}-c=0
\end{equation}
 $T_c$�ɂ��ĉ����΁A
\begin{equation}
	T_c	= \frac{1}
			{a}\ln c
\end{equation}



\bigskip

\noindent [���2.] 1�����]�ڂ�\�����߂ɁA
  ���̗l��(�����_�E)���R�G�l���M�[
\begin{equation}
	F(M,T) = A_0(T) +\frac{a}
			{2}(T-T_0)M^2 -\frac{b}
					{4}M^4 +\frac{c}
						{6}M^6	\label{mondai}
\end{equation}
  ���l����B
 ����$F(M,T)$�̂��Ƃł́A��������$M$�����鉷�x$T_c$�ŕs�A���ɕω�����B
 �܂�A$T_c$��$M$���Ƃт��������A���̂Ƃт����߂Ȃ����B
 �������A������$T_c$���g���ėǂ��B

\bigskip

\noindent[��](���ۂ̉𓚂ɂ͂����܂Ōv�Z�𒚔J�ɏ����Ȃ��ėǂ��B)

(�����_�E)���R�G�l���M�[�́A�ŏ������t�̒l�Ȃ̂ŁA�ŏ������߂邽�߂ɂ܂��ɒl�����߂�B
 �ɒl��$F(M,T)$��1�K������0������A\siki{mondai}��$M$�Ŕ�������ƁA
\begin{equation}
	\frac{\pd F}
			{\pd M} = M[a(T-T_0) -bM^2 +cM^4] = 0		\label{kyokuchi}
\end{equation}
 ���������āA�ɒl�́A
\begin{align}
	M &= 0	\\
	a(T-T_0) -bM^2 +cM^4	&= 0	\label{hijimei}
\end{align}
  �̂ǂ��炩�𖞂����B
  
 \eqref{hijimei}�������������ǂ������ׂ邽�߂ɁA$X=M^2$�Ƃ��āA
\begin{equation}
	f(X) = a(T-T_0) -bX +cX^2
\end{equation}
  ���l����B
 $f(X)=0$���������̂́A���ʎ�$D$���v�Z����Ε�����B
\begin{equation}
	D = b^2 -4ac(T-T_0)			\label{hanbetsu}
\end{equation}
 $D<0$�A���邢�́A
\begin{equation}
	T>T_1\equiv T_0 +\frac{b^2}
				{4ac}
\end   {equation}
  �̎��A$f(X)=0$�͉��������Ȃ��B
 ���������āA\eqref{hijimei}�������������Ȃ��B
 �܂��A$f(X)>0$��������B

 $D>0$�̎��́A$f(X)=0$�̉���2�����āA���ꂼ��
\begin{align}
	X_1	& = \frac{b+\sqrt{D}}
			{2c}		\label{X1}\\
	X_2	& = \frac{b-\sqrt{D}}
			{2c}
\end{align}
   �Ƃ���ƁA$X_2$�̕����ɂ���āA\eqref{hijimei}���̉��̌����ς��B
\begin{enumerate}
\item\textbf{$X_2>0$�̎�:}  \eqref{hijimei}���̉��́A
  $\pm\sqrt{X_1}$��$\pm\sqrt{X_2}$��4����B
 $X_2>0$�ɂȂ邽�߂ɂ́A$b>\sqrt{D}=\sqrt{b^2 -4ac(T-T_0)}$������A
  $T>T_0$�̎��ɑ�������B
\item\textbf{$X_2<0$�̎�:} $X=M^2$�Ȃ̂ŁA
  $X_2$�ɑΉ�����\eqref{hijimei}���̉��͖����B
 ���������āA����$\pm\sqrt{X_1}$��2�����Ȃ��B
$X_2<0$�ƂȂ�̂́A $T<T_0$�̎��B
\end{enumerate}

 ���ǁA\siki{mondai}�ŗ^������$F(M,T)$�̃O���t�̌`�́A����3�ʂ肪�l������B

\bigskip

\noindent\maru{1} $T\ge T_1$�̎�: $F'\equiv\pd F(M,T)/\pd M$�Ƃ���ƁA
  �����\��
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
	$M$	& $-\infty$ 	& 	& 0	&
	& $\infty$				\\ \hline
	$F'$	& $-\infty$	& $-$	& 0	& $+$
	& $\infty$	\\
	$F(M,T)$& $\infty$	& ����	& �ɏ�	& ����
	& $\infty$				\\ \hline
\end   {tabular}
\end   {center}
 �܂�A$M=0$�ŁA$F(0,T)=A_0(T)$���ŏ��B

�@\bigskip

\noindent\maru{2} $T_1>T\ge T_0$�̎�: $F(M,T)$�͋�֐��Ȃ̂ŁA
  �����\��$M\ge 0$�ŏ����ƁA
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
	$M$	&  0 	& & $\sqrt{X_2}$ &&$\sqrt{X_1}$
	&	& $\infty$				\\ \hline
	$F'$	&  0	& $+$	& 0	& $-$	& 0
	& $+$	& $\infty$	\\
	$F(M,T)$& �ɏ�	& ����	& �ɑ�	& ����	& �ɏ�
	& ����	& $\infty$				\\ \hline
\end   {tabular}
\end   {center}
 ���̏ꍇ�͋ɏ���$M=0$��$M=\sqrt{X_1}$��2����A
    $F(0,T)$��$F(\sqrt{X_1},T)$�̑召�ōŏ������܂�B	\label{furoku}
 �t�^�Ŏ������悤�ɁA���̑召��$T=T_c$�œ���ւ��B
 �܂�A$F(M,T)$���ŏ��ɂȂ�$M$�́A
\begin{alignat}{2}
	T	&> T_c �̎�	&\qquad
	& M 	=
%\begin{cases}\displaystyle
	0  			\\
	T	&< T_c �̎�	&\qquad
	& M 	 =\sqrt{X_1}
	 = \sqrt{\frac{b+\sqrt{D}}
			{2c}}
%		& T<T_c �̎�
%\end   {cases}
\end{alignat}
 ���������āA$T=T_c$��$M$�̂Ƃ�$\Delta M$�́A
\begin{equation}
	\Delta M = \sqrt{\frac{b+\sqrt{D}}
						{2c}}
			= \sqrt{\frac{b+\sqrt{b^2 -4ac(T_c-T_0)}}
						{2c}}
\end   {equation}
 
�@\bigskip

\noindent\maru{3} $T_0>T$�̎�: �����\�́A
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
	$M$	&  0 	&	&$\sqrt{X_1}$&	& $\infty$
							\\ \hline
	$F'$	&  0		& $-$	& 0
	& $+$	& $\infty$	\\
	$F(M,T)$	& �ɑ�	& ����	& �ɏ�
	& ����	& $\infty$				\\ \hline
\end   {tabular}
\end   {center}
 �܂�ŏ��́A$M=\sqrt{X_1}$�ƂȂ�B
 



\bigskip

\noindent[�t�^] $T_c$�̌v�Z

 \pageref{furoku}�y�[�W�Ő��������悤�ɁA$T_1>T\ge T_0$�̎��A�ɏ���2�����āA
  ���̎���$F(M,T)$�̒l�����������x��$T_c$�ɂȂ�B
 ���ꂼ��̋ɏ��ɂ���$F(M,T)$���v�Z����ƁA
\begin{align}
	F(0,T)		&= A_0(T) 			\\
	F(\sqrt{X_1},T) &= A_0(T) +\frac{a}
					{2}(T-T_0)X_1
			 -\frac{b}
				{4}X_1^2 +\frac{c}
						{6}X_1^3
						\label{AX1}
\end   {align}
 $a(T-T_0)-bX_1+cX_1^2=0$�Ȃ̂ŁA����̗��ӂ�$X_1/6$��������ƁA
\begin{equation}
	\frac{a}
	{6}(T-T_0)X_1-\frac{b}
			{6}X_1^2+\frac{c}
			            {6}X_1^3=0		\label{X13}
\end    {equation}
 \eqref{X13}����$cX_1^3/6$�ɂ��ĉ����āA\eqref{AX1}���ɑ������ƁA
\begin{align}
	F(\sqrt{X_1},T)	&=  A_0(T) +\frac{a}
					{3}(T-T_0)X_1
			 -\frac{b}
				{12}X_1^2	\\
			&= A_0(T) +X_1\left\{\frac{a}
					{3}(T-T_0)
			 -\frac{b}
				{12}X_1\right\}
\end    {align}
 �܂�A
\comment{
\begin{align}
	\frac{a}
	{3}(T-T_0)	&>  \frac{b}
				{12}X_1	\\
\intertext{�̎��́A$M=0$���ŏ��B}
	\frac{a}
	{3}(T-T_0)	&<  \frac{b}
				{12}X_1
\end    {align}
  �̎��́A$M=\sqrt{X_1}$���ŏ��B
�ŏ�������ւ�鉷�x��$T_c$�Ƃ���ƁA}
$T=T_c$�ł́A
\begin{align}
	\frac{a}
	{3}(T_c-T_0)	&= \frac{b}
				{12}X_1	\\
\intertext{\eqref{X1}����������ƁA}
		&= \frac{b}
				{12}\frac{b+\sqrt{D}}
						{2c}	\\
	\frac{8ac}
	{b}(T_c-T_0)	&= b+\sqrt{D}		\\
	\left\{\frac{8ac}
	{b}(T_c-T_0)-b\right\}^2	&=D	\\
\intertext{\shiki{hanbetsu}��������ƁA}
	\left\{\frac{8ac}
	{b}(T_c-T_0)-b\right\}^2	&=b^2 -4ac(T_c-T_0)
										\\
	\frac{64a^2c^2}
	{b^2}(T_c-T_0)-16ac	&= -4ac	\\
	\frac{64a^2c^2}
	{b^2}(T_c-T_0)	&= 12ac			\\
	T_c		&= T_0 +\frac{3b^2}
						{16ac}
\end    {align}

\end  {document}