\documentclass[12pt]{jsarticle}
\usepackage{amsmath}

%\usepackage{../../macro2}
\usepackage{/Users/yoshimoriakira/Documents/tex/macro2}
%\usepackage{/Users/yoshimori/Documents/tex/macro2}

\newcommand{\largetilde}[1]{\text{\huge$\tilde{\text{%
\large$#1$}}$}}

\begin{document}
\large
\begin{center}
	2015�N�x���v�͊wII �h��7 (6��4���o��A6��11����o)
	��
\end  {center}
\begin{flushright}
	�S�� �g�X ��
\end  {flushright}
 [���1.] $\varepsilon_{\vec{\ell}}=c\hbar|\vec{k}({\vec{\ell}})|$�̂Ƃ��A
  ���ƂŐ��������̂Ɠ����悤��
$b(\varepsilon_{\vec{\ell}})/V<<N/V$������ ($\vec{\ell}\ne 0$)�B


\bigskip

\noindent[��] ���ƂƓ����悤�ɁA$N/V$�����ɂ��āA
    $N\to\infty$�A$V\to\infty$�̋Ɍ��Œ��ׂ�B
 �����ŁA$N$��$V$�͑S���q���Ƒ̐ς�\���B

 $b(\varepsilon_{\vec{\ell}})$�̎���������ƁA
\begin{align}
	\frac{b(\varepsilon_{\vec{\ell}})}
		{V}
 	&=\frac{1}
		{V}\frac{1}
				{e^{\beta\varepsilon_{\vec{\ell}}}/z-1} \\
\intertext{$z<1$������}
 	&< \frac{1}
		{V}\frac{1}
				{e^{\beta\varepsilon_{\vec{\ell}}}-1} \\
\intertext{$V=L^3$������$V\to\infty$��$L\to\infty$�Ɠ���������A
  $L\to\infty$�Ƃ���ƁA$|\vec{k}|$�͏������Ȃ�A$\varepsilon_{\vec{\ell}}$���������Ȃ�B
 �w���֐����e�[���[�W�J����ƁA}
 	&\xrightarrow{L\to\infty} \frac{1}
					{V}\frac{1}
					{\beta\varepsilon_{\vec{\ell}}} \\
\intertext{$V=L^3$�Ɩ���$\varepsilon_{\vec{\ell}}$��������ƁA}
 	&= \frac{1}
		{L^3}\frac{1}
			{\beta}
		\left\{c\hbar |\vec{k}(\vec{\ell})|
		\right\}^{-1} \\
 	&= \frac{1}
		{L^3}\frac{1}
			{\beta}
		\left\{c\hbar\frac{2\pi|\vec{\ell}|}
			{L}
		\right\}^{-1}	\\
	&\propto \frac{1}
			{L^2}\xrightarrow{L\to\infty} 0
\end   {align}
 �܂�A$N/V$�����ɂ��āA$L\to\infty$�ɂ���ƁA
\begin{equation}
	\frac{b(\varepsilon_{\vec{\ell}})}
		{V} \to 0
\end   {equation}
 �������A$\vec{\ell}=0$�͏����B
 ���̋Ɍ��ł́A$N/V$�����Ȃ̂ŁA$\varepsilon_{\vec{\ell}}>0$��
 \begin{equation}
	\frac{b(\varepsilon_{\vec{\ell}})}
		{V} << \frac{N}
			{V}	\label{jouken}
\end   {equation}
����������邱�Ƃ�����B


\bigskip

\noindent [���2.] $D(\varepsilon)\propto\varepsilon^{1/2}$�̂Ƃ��A
$\int^\infty_0D(\varepsilon)b(\varepsilon)d\varepsilon$\footnote{%
\large  ���͐ϕ��̉�����$-\infty$�ł������A0�̊ԈႦ�ł��B
 �ނ�ł��l�т���ƂƂ��ɒ����v���܂��B}
��$z\to 1$�Ŕ��U���Ȃ����Ƃ������B
 �������A$b(\varepsilon)$�̓{�[�X���z�B


\bigskip

\noindent[��] $b(\varepsilon)$�́A
\begin{equation}
	b(\varepsilon)=\frac{1}
			{\exp[\beta\varepsilon]/z-1}
\end   {equation}
  ������A$z=1$�ɂ��āA
$\int^\infty_0D(\varepsilon)b(\varepsilon)d\varepsilon$��
  $D(\varepsilon)\propto\varepsilon^{1/2}$��������ƁA
\begin{equation}
	\int^{\infty}_0\frac{\varepsilon^{1/2}}
					{\exp[\beta\varepsilon]-1
							}d\varepsilon
\end   {equation}
 ���̐ϕ������U���Ȃ����Ƃ������Ηǂ��B

�ϕ��̉����ɒ��ڂ���ƁA$\varepsilon$�͏[������������
  $\exp[\beta\varepsilon]=1+\beta\varepsilon+\cdots$�ŁA
  \mbox{$(\exp[\beta\varepsilon]-1)\sim \beta\varepsilon$}�ƂȂ�A
  ��ϕ��֐��́A$\varepsilon^{-1/2}$�ɔ�Ⴗ��B
 ���̂悤�Ȕ�ϕ��֐���0����ϕ����Ă����U���Ȃ����Ƃ��m���Ă���B

 �����������m�ɏؖ�����B
 �[��������$a>0$�ɑ΂��āA�ϕ���Ԃ𕪂����
\begin{equation}
	\int^{\infty}_a\frac{\varepsilon^{1/2}}
					{\exp[\beta\varepsilon]-1
							}d\varepsilon
	+\int^{a}_0\frac{\varepsilon^{1/2}}
					{\exp[\beta\varepsilon]-1
							}d\varepsilon
\end   {equation}
 1���ڂ́A��ϕ��֐���$\varepsilon\to\infty$��0�ɂȂ�̂ŁA�������邱�Ƃ�������B
 2���ڂ�
\begin{equation}
	\frac{1}
	{\exp[\beta\varepsilon]-1}\le \frac{1}
					{\beta\varepsilon}
\end   {equation}
  ������A
\begin{equation}
	\int^{a}_0\frac{\varepsilon^{1/2}}
					{\exp[\beta\varepsilon]-1
							}d\varepsilon
	< \int^{a}_0\frac{\varepsilon^{1/2}}
					{\beta\varepsilon}d\varepsilon
\end   {equation}
  �E�ӂ͌v�Z�ł���
\begin{equation}
	\int^{a}_0\frac{\varepsilon^{1/2}}
					{\beta\varepsilon}d\varepsilon
	= \int^{a}_0\frac{\varepsilon^{-1/2}}
					{\beta}d\varepsilon
	= 2\frac{a^{1/2}}
					{\beta}
\end   {equation}
 �܂�A
\begin{equation}
	\int^{a}_0\frac{\varepsilon^{1/2}}
					{\exp[\beta\varepsilon]-1
							}d\varepsilon
	< 2\frac{a^{1/2}}
					{\beta}
\end   {equation}
 ���������āA
   2���ڂ����U���Ȃ��B
\end  {document}